domingo, 5 de março de 2017


O QUE É O BIÊNIO DA MATEMÁTICA BRASIL

Um movimento que pretende abrir portas importantes para o crescimento do Brasil e dos brasileiros.

Após disputar com mais de 140 países, o Brasil sediará, em 2017 e 2018, dois grandes eventos de relevância internacional: a Olimpíada Internacional da Matemática IMO 2017 e o Congresso Internacional de Matemáticos ICM 2018. Para potencializar esta oportunidade e fomentar o desenvolvimento da educação no país, nasceu o BIÊNIO DA MATEMÁTICA BRASIL. Serão dois anos de ações e eventos nacionais e internacionais, que colocarão a Matemática, a Ciência e a Tecnologia no foco da comunicação, impactando milhares de pessoas. A agenda positiva se destina a um público amplo, desde estudantes, professores, pesquisadores e renomados cientistas até o público em geral. Todos serão convidados a vivenciar experiências enriquecedoras no mundo da Matemática. Apoiado por entidades, pesquisadores, cientistas nacionais e internacionais, este movimento abrirá portas importantes para o crescimento do Brasil e o desenvolvimento humano. 

Os principais objetivos do Biênio da Matemática Brasil são:

  • Incentivar o estudo da Matemática e o raciocínio lógico e abstrato.
  • Oferecer atividades de ensino, artísticas, lúdicas e que sejam prazerosas para todos os públicos envolvidos. 
  • Criar ações onde o público possa interagir com os conceitos e adquirir novos conhecimentos a partir da experiência vivenciada. 
  • Produzir experiências que tratem a Matemática como linguagem.
  • Alimentar e melhorar a relação das pessoas com a disciplina.
  • Popularizar a Matemática. 
  • Atualizar e treinar professores.
Biênio da Matemática 2017-2018 foi proclamado pelo Congresso Nacional, por meio da Lei Ordinária 13.358 de 07 de novembro de 2016, e conta com o apoio do Ministério da Ciência, Tecnologia, Inovações e Comunicações e do Ministério da Educação.

Fonte: https://www.bieniodamatematica.org.br

segunda-feira, 9 de novembro de 2015

A História dos Números Complexos
Por João Bosco Pitombeira de Carvalho

“O Espírito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da análise, neste portento do mundo das ideais, este anfíbio entre o ser e o não ser, que chamamos de raiz imaginária da unidade negativa.” (Leibniz)

A história dos números complexos ilustra bem como um conceito matemático fundamental pode demorar muito até ser bem compreendido e aceito. É uma história longa de resistência, por parte de excelentes matemáticos, a admitirem a existência dos números complexos, mesmo quando os usavam.
Os números complexos começaram a aparecer sistematicamente em Matemática com os algebristas italianos do século XVI. Quando isso aconteceu, os matemáticos não tinham nem ainda esclarecido os conceitos de números negativos e irracionais. Assim, o desenvolvimento do conceito de número não foi algo progressivo, dando-se na ordem que nos aparece natural, e que é exposta nos textos: números naturais, inteiros, racionais, reais e por fim complexos. Até o século XIX, quando Gauss com sua autoridade divulgou a interpretação geométrica dos números complexos, a qual lhes deu “direito de cidadania”, ainda havia matemáticos que discutiam se os números negativos realmente existiam ou não!
Cardano (1501–1576), em seu livro Ars Magna (1545), o qual entre outras coisas dá o método para resolver a equação do terceiro grau, resolve o problema de dividir 10 em duas partes sujo produto é 40. Este problema reduz-se a resolver a equação de segundo grau $x^{2}-10x+40=0$. Resolvendo-a pelo método usual de completar o quadrado, obtemos $(x-5)^2-25+40=0$, donde $(x-5)^2=-15$, e daí obtemos, operando como se os números que aparecem fossem números reais, $(x-5)=\pm \sqrt{-15}$, ou seja $x=5\pm \sqrt{-15}$, que é a solução procurada. Como diz Cardano, “Deixando de lado toda a tortura mental envolvida, multiplica $\left ( 5+\sqrt{-15} \right )$ por $\left ( 5-\sqrt{-15} \right )$. O produto é $25-(15)=40$ (...). Assim progride a sutileza aritmética cujo objetivo, como afirmado, é tão refinado quanto inútil”.
De qualquer maneira, o encontro dos matemáticos com os números complexos era inevitável no estudo da equação do terceiro grau. No chamado “caso irredutível”, quando a equação possui 3 raízes reais, o emprego do método de Cardano acarreta obrigatoriamente o manejo de números complexos, embora as soluções da equação, que constituem o resultado final, sejam reais!
Bombelli (1526–1572), discípulo de Cardano, compreendeu melhor a álgebra dos números complexos. Ao retomar o estudo da equação do terceiro grau, ele introduziu sua quantidade “piu di meno”, que corresponde a $\sqrt{-1}$, e enunciou, sob forma de versos, as regras de operação com ela. Embora afirmasse que os números complexos eram inúteis e “sofísticos”, Bombelli operou livremente com eles. Em sua álgebra, deduziu que $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}$.
Vemos assim que no século XVI os matemáticos começaram a usar os números complexos, aplicando-lhes as regras usuais de cálculo com números reais embora escandalizados e dando declarações veementes de que eles “não existiam”, eram “inúteis”, etc. A crença de que se poderia aplicar aos números complexos as mesmas regras do cálculo com números reais levou por vezes a enganos. Euler (1707–1783), já no século XVIII, afirmou, por exemplo, que $\sqrt{-2}\sqrt{-2}=\sqrt{4}=2$, por analogia com a regra $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, válida para os números reais. O princípio de aplicar a novos objetos algébricos as regras usuais do cálculo de números já conhecidos foi denominado, no século passado, o “princípio da permanência das formas” e foi utilizado frequentemente em álgebra, às vezes com resultados bons, às vezes maus.
O Teorema Fundamental da Álgebra diz que toda equação da forma $a_{k}x^{k}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$, com $a_{0}$$a_{1}$,..., $a_{k}$ números complexos tem exatamente $k$ raízes complexas, se contarmos suas multiplicidades. A primeira formulação escrita deste teorema foi dada por Peter Rothe (?–1617), matemático de Nutemberg; em sua Arithmetica Philosophica, de 1600, ele afirma que uma equação tem no máximo tantas raízes quanto seu grau. Além de Rothe, um dos primeiros matemáticos a se ocuparem com este teorema foi Albert Girard (1595–1632), em cujo livro L’Invention Nouvelle en Algèbre, de 1629, lemos que uma equação algébrica completa de grau $n$ (isto é, que não há coeficientes nulos), possui $n$ raízes.
Uma mudança na atitude dos matemáticos em relação aos números complexos pode ser percebida nas palavras de Girard: “Pode-se perguntar: para que servem estas soluções impossíveis (raízes complexas). Eu respondo: para três coisas – para a validez das regras gerais, devido à sua utilidade e por não haver outras soluções”.
Um pouco mais tarde, René Descartes (1596–1650) em seu La Géométrie aceita que uma equação tem tantas raízes quanto seu grau, se admitirmos as raízes imaginárias. Descartes introduziu em seu livro a denominação números imaginários: “nem as raízes verdadeiras nem as falsas são sempre reais; por vezes elas são imaginárias”. Para ele, enquanto que as raízes negativas podem ser tornadas “reais” transformando a equação em outras cujas raízes são positivas, isso não pode ser feito com raízes complexas. Assim, essas raízes não são números. 
Em 1749, D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert, 1717–1783) apresenta a primeira tentativa de demonstração convincente deste teorema, que até hoje é conhecido como Teorema de D’Alembert. Em verdade, a demonstração de D’Alembert não mostra nem que existem raízes da equação. Ele demonstra qual a forma das raízes, se elas existirem. O mérito do trabalho de D’Alembert foi divulgar os números complexos, pois neles encontra-se uma exposição da teoria dos números complexos e das funções complexas.
Uma contribuição importante de D’Alembert, foi esclarecer que tipos de números complexos pode ser obtidos ao se resolver equações algébricas. Como consequência da percepção ainda imprecisa dos números complexos, matemáticos do século XVIII acreditavam que, resolvendo equações algébricas diferentes, e em particular extraindo raízes de números complexos, se obteriam diferentes tipos dessas quantidades. D’Alembert mostrou, em 1747, que qualquer expressão algébrica de um número complexo $a+b\sqrt{-1}$ é também um número da forma $a+b\sqrt{-1}$. Expressão algébrica, para D’Alembert, incluía elevar um número complexo a uma potência complexa. Sua demonstração só não é correta para o caso $(a+b\sqrt{-1})^{c+d\sqrt{-1}}$.
Com Euler, em 1749, as investigações sobre o Teorema Fundamental da Álgebra atingiram outro nível. Em seu Pesquisa sobre as Raízes Imaginárias de uma Equação ele mostrou, em primeiro lugar, que se $a+b\sqrt{-1}$ é a raiz de uma equação, então o mesmo acontece com $a-b\sqrt{-1}$. Ou seja, se uma equação tem uma raiz complexa, possui um fator da forma $x^2+kr+r$. Ele mostrou em seguida que toda equação de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, e que uma equação de grau par ou não possui raízes reais ou possui pares de tais raízes. Demonstrou em seguida que todas as raízes não-reais são da forma $a+b\sqrt{-1}$. Para isso, foi necessário estudar cuidadosamente as operações com números complexos, incluindo potências imaginárias, logaritmos de números complexos, funções trigonométricas de argumento complexo, etc.
A ambivalência dos matemáticos do século XVIII em relação aos números complexos pode ser mais uma vez evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma: “Como todos os números concebíveis são maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica então claro que as raízes quadradas de números negativos não podem ser incluídas entre os números possíveis [números reais]. E esta circunstância nos conduz ao conceito de tais números, os quais, por sua própria natureza, são impossíveis, e que são geralmente chamados de números imaginários, pois existem somente na imaginação”.
Os Bernoullis e Leibniz usaram os números complexos livremente, em integração, sem se preocuparem com sua conceituação ou existência. Essa utilização levou à discussão sobre a existência de logaritmos de números complexos. De fato, é bem conhecido que a substituição
$z=\dfrac{b(t-1)}{t+1}$
transforma
$\dfrac{adz}{b^2-z^2}$    em    $\dfrac{adt}{2bt}$,
que é a diferencial de . Analogamente, raciocinava Johann Bernoulli, a transformação
$z=\sqrt{-1}\dfrac{b(t-1)}{t+1}$
transformará
$\dfrac{dz}{b^2-z^2}$    em    $\dfrac{-dt}{2bt\sqrt{-1}}$,
que será portanto a diferencial do logaritmo de um número complexo. As discussões sobre a existência dos logaritmos dos números negativos e complexos foram vivas e frequentes, até que Euler apresentou uma justificativa convincente para a sua existência. Ele percebeu que se $z$ é um número complexo qualquer, $z=r(cos\theta + isen\theta)$, então $\ln z=\ln r+i(2k\pi + \theta)$, com $k=0$, $\pm1$, $\pm2$,...; ou seja, há infinitas determinações para o logaritmo de um número complexo. Com Euler, pode-se dizer que a álgebra dos números complexos atingiu sua forma atual.
            No fim do século XVIII, os matemáticos já se aventuravam a efetuar operações bem ousadas com números complexos. No entanto, uma indicação da posição ambígua mantida por eles em relação aos números complexos fica evidente pelo fato de que a grande Enciclopédia, organizada por D’Alembert e outros “filósofos” franceses, em seus artigos sobre Matemática, redigidos pelo próprio D’Alembert, mantém um silêncio prudente sobre estes números.
            Laplace (Pierre Simon de Laplace, 1749–1827), em 1795 atacou o problema de demonstrar o Teorema Fundamental da Álgebra, sem contudo conseguir uma prova aceitável. A primeira demonstração correta deve-se a Gauss (1777–1855), na qual utiliza propriedades topológicas da reta e do plano, que não tinham sido ainda explicitadas em sua época. A demonstração de Gauss encontra-se em sua tese de doutoramento, de 1799. Neste trabalho, Gauss, além de apresentar sua demonstração, estuda criticamente as demonstrações precedentes de D’Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenet (1759) e Lagrange (1772), todas elas insatisfatórias. Ao longo dos anos, Gauss apresentou três novas demonstrações do Teorema Fundamental.
            É provável que a ideia de representar geometricamente os complexos tenha ocorrido a Gauss ao demonstrar o Teorema Fundamental da Álgebra, mesmo que ele não tenha utilizado isso na demonstração. Já Wallis (1616–1703) tinha procurado uma tal representação, tentando representar os números complexos no plano, mas seus esforços não foram bem sucedidos.
            A ideia de Wallis foi retomada independentemente por vários matemáticos, até Gauss. Um deles foi o norueguês Caspar Wessel (1745–1818), cujos trabalhos ficaram desconhecidos até 1897. Outros matemáticos que trabalharam sobre o problema foram os franceses Lazare Carnot (1753–1823), em seu livro Géometrie de Position, de 1803, e Adrian Quentin Buée (1748–1826). O italiano Jean Robert Argand (1768–1822) escreve o livro Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas em 1806. No entanto, com exceção de Carnot, os outros eram muito pouco conhecidos, e foi necessário o prestígio de Gauss para tornar conhecida e aceita a representação geométrica dos números complexos. Ele publicou suas ideias em 1831, referindo-se “a verdadeira metafísica das quantidades imaginárias”.

domingo, 22 de julho de 2012


Princípio da Casa dos Pombos

O Principio da Casa dos Pombos nos diz que para colocarmos n + 1 pombos em n gaiolas, pelo menos uma gaiola deverá conter pelo menos dois pombos. Essa ideia tão óbvia é, na realidade, uma poderosa ferramenta na demonstração de muitos resultados bastante difíceis. O que, muitas vezes, torna o problema difícil é a construção de um conjunto ou conjuntos aos quais se possa aplicar esse princípio.

Esse princípio é também conhecido como “Princípio das Gavetas de Dirichlet” por ter sido por ele enunciado como: “Se n + 1 objetos são colocados em n gavetas, então pelo menos uma gaveta deverá conter, pelo menos, dois objetos”.

Exemplo 1. Mostrar que, numa festa de aniversário com mais de 12 crianças, existem pelo menos duas nascidas no mesmo mês e que também existem pelo menos duas nascidas no mesmo dia da semana.

Solução: Como temos mais crianças (pombos) do que meses (gaiolas), pelo menos um “mês” deverá conter pelo menos duas “crianças”. Na segunda parte, sendo o número de crianças maior do que 7, necessariamente duas ou mais terão nascido no mesmo dia da semana.

Exemplo 2. Mostrar que todo subconjunto de {1, 2, 3,..., 2n}, contendo n + 1 elementos, possui um par de elementos primos entre si.

Solução: É fácil observar que os únicos subconjuntos de {1, 2, 3,..., 2n} contendo n elementos, não-consecutivos, são{1, 3, 5,..., 2n – 1} e {2, 4, 6,..., 2n}. Portanto ao tomarmos um subconjunto com n + 1 elementos teremos, necessariamente, dois elementos consecutivos que, sendo primos entre si, irão garantir nosso resultado.  

Exemplo 3. Mostrar que qualquer subconjunto S de {1, 2, 3,..., 12} contendo sete elementos possui dois subconjuntos cuja soma dos elementos é a mesma.

Solução: Um subconjunto com 7 elementos terá soma no máximo igual a 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63. Disto concluímos que os possíveis valores para a soma dos elementos de um subconjunto de um conjunto contendo 7 dos elementos de {1, 2, 3,..., 12} vão de 1 a 63, ou seja, temos 63 valores possíveis. Mas um conjunto com 7 elementos possui 27 – 1 subconjuntos não-vazios. Logo, como 27 – 1 > 63, pelo menos dois deles terão a mesma soma para os seus elementos.  

Exemplo 4. Mostrar que, dentre 9 pontos quaisquer de um cubo de aresta 2, existem pelo menos dois pontos que se encontram a uma distância menor  do que ou igual a Ö3 um do outro.

Solução: Dividimos este cubo em oito cubos menores dividindo cada aresta ao meio. Cada um dos 8 cubos assim gerados, tendo aresta 1, terá diâmetro igual a Ö3. Como temos 9 pontos, pelo menos um dos 8 cubos conterá 2 pontos, o que conclui a demonstração.

Exemplo 5. Suponhamos que os números de 1 até 15 sejam distribuídos de modo aleatório em torno de um círculo. Mostrar que a soma dos elementos de pelo menos um conjunto de 5 elementos consecutivos, tem que ser maior do que ou igual a 40.

Solução: Observe que, se somarmos todos os possíveis conjuntos de 5 elementos consecutivos (são 15), cada um dos números de 1 a 15 terá sido somado 5 vezes e que, portanto, a soma total será 5.(1 + 2 + 3 + ... + 15) = 5.(15 + 1).15/2 = 600. Como são 15 conjuntos distintos de 5 elementos consecutivos, se cada um tiver soma inferior a 40, o total será no máximo 15 ´ 39 = 585. Logo, pelo menos um deve ter soma maior do que ou igual a 40.

O Princípio da Casa dos Pombos pode ser, de maneira mais geral, enunciado como: “Se n gaiolas são ocupadas por n.k + 1 pombos, então pelo menos uma gaiola deverá conter pelo menos k + 1 pombos”.

Exemplo 6. Numa festa de aniversário com 37 crianças, pelo menos 4 nasceram no mesmo mês.

Solução: De fato, como 37 = 3.12 + 1 o resultado segue pelo caso geral enunciado acima, com n = 12 e k = 3. Logo temos que pelo menos 3 + 1 = 4 crianças nasceram no mesmo mês.

Exemplo 7. Se uma urna contém 4 bolas vermelhas, 7 bolas verdes, 9 bolas azuis e 6 bolas amarelas, qual é o menor número de bolas que devemos retirar (sem olhar) para que possamos ter certeza de termos tirado pelo menos 3 de uma mesma cor?

Solução: Consideramos como gaiolas as 4 cores diferentes e, portanto, tomando k = 2 e n = 4, temos 4.2 + 1 = 9 para a resposta do nosso problema.

Exemplo 8. Num grupo de n pessoas (n ³ 2) existem pelo menos duas pessoas com o mesmo número de conhecidos. (OBS.: Neste exemplo assumimos que a relação de conhecimento é simétrica, isto é, se a conhece b, então b conhece a.)

Solução: Vamos particionar estas n pessoas em subconjuntos A0, A1,..., An – 1, onde Ai é o subconjunto que contém as pessoas que conhecem i pessoas no grupo de n. Logo, se uma pessoa não conhece nenhuma outra das n – 1 pessoas ela estará no grupo A0, se tem somente um conhecido estará em A1 e assim por diante, até An – 1, caso ela conheça todas as outras n – 1 pessoas. Mas se o subconjunto A0 possui alguém,  An – 1 não possui ninguém e vice-versa. Isto porque se alguém não conhece ninguém é porque ninguém conhece todos e se alguém conhece todos os outros não ninguém que seja desconhecido de todos. Logo, as n pessoas estão particionadas em n – 1 subconjuntos e, portanto, algum subconjunto contém pelo menos duas pessoas, o que conclui a demonstração.

Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, IMPA/SBM.

segunda-feira, 9 de julho de 2012


COMBINATÓRIA – Princípios básicos

O principio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy.

Exemplo 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

Solução. Formar um casal equivale a tomar as decisões:
D1: Escolha do homem (5 modos).
D2: Escolha da mulher (5 modos).
Há 5 ´ 5 = 25 modos de formar um casal.

Exemplo 2. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Solução. Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras.
A resposta é 3 ´ 26 = 192.

Exemplo 3. Quantos são os números de três dígitos distintos?

Solução. O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos.
A resposta é 9 ´ 9 ´ 8 = 648.

Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória:

1) Postura. Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal.

2) Divisão. Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos.

Vamos voltar ao exemplo anterior – Quantos são os números de três dígitos distintos? – para ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estratégia, tornar complicadas as coisas mais simples.
Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos de escolher o último dígito. Em seguida, há 9 modos de escolher o dígito central, pois não podemos repetir o dígito já usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro dígito? A resposta é “depende”. Se não tivermos usado o 0, haverá 7 modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem os dois dígitos já usados nas demais casas; se já tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito.
Um passo importante na estratégia para resolver problemas de Combinatória é:

3) Não adiar dificuldades. Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar. No exemplo 3, a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras, pois o primeiro dígito não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve para causar problemas.

A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2001. Vol. 2 (p. 85-87).

sábado, 10 de março de 2012

Cantor e a Teoria dos Conjuntos

Hygino H. Domingues

A natureza do infinito é uma questão antiga e controversa. Arquimedes (287-212 a.C.) fazia distinção entre infinito potencial e infinito atual. Este último, que vem a ser o infinito como algo completo, era descartado por não haver nenhuma evidência de que alguma coleção de objetos pudesse corresponder a tal ideia. O conjunto , por outro lado, é um exemplo de conjunto potencialmente infinito, pois sempre se pode somar uma unidade a cada um de seus elementos obtendo-se outro número natural.

No século XVII Galileu comparou os conjuntos * = {1, 2, 3, ...} e P = {2, 4, 6, ...}. E assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas, posto que a correspondência 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 6, ..., n ® 2n, ... de * em P é, como se diz hoje, biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado a deixar de lado tais cogitações.

Aliás, a ideia de infinito atual, por ter conotações de ordem religiosa, não era aceita também por certos religiosos (São Tomás de Aquino, por exemplo) que viam Deus a única natureza absolutamente infinita. E isso deve ter contribuído para que sua adoção fosse retardada em Matemática.

Curiosamente, quem tirou a Matemática dessa camisa-de-força foi um homem de profunda fé religiosa, Georg Cantor (1845-1918). Cantor nasceu na Rússia, na cidade de São Petersburgo, mas aos 11 anos mudou-se com sua família para a Alemanha, onde se fixou. Em 1862 iniciou o curso de Engenharia em Zurique mas, depois de um semestre, deixou-o para fazer Matemática em Berlim, em cuja universidade obteve o grau de doutor no ano de 1867 com uma tese sobre teoria dos números. Dois anos depois foi admitido na Universidade de Halle, onde transcorreria sua carreira acadêmica.

Dedicando-se entre 1870 e 1872 a pesquisas na área de análise matemática, Cantor acabou tendo sua atenção atraída para um assunto com o qual seu espírito tinha especial afinidade: a natureza dos conjuntos infinitos. E de sua opção por este caminho nasceria a teoria dos conjuntos como capítulo autônomo da Matemática. 

Em 1872, o matemático alemão Dedekind dera o primeiro passo nesse sentido com a seguinte definição (aqui em terminologia moderna): “Um conjunto se diz infinito se pode ser colocado em correspondência biunívoca com uma parte própria de si mesmo”. Ou seja, aquilo que a Galileu parecera um paradoxo tornava-se a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, com todas as suas implicações.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845-1918).
O grande mérito de Cantor foi perceber, a partir daí, a existência de conjuntos infinitos de espécies diferentes, numa escala de grandeza. Se dois conjuntos, como * e P, podem ser colocados em correspondência biunívoca, diz-se que ambos têm mesma potência. E foi através dessas potências que Cantor hierarquizou o infinito. Na primeira categoria da escala do infinito estão todos os conjuntos com a mesma potência de *, entre os quais estão P, e, surpreendentemente, o próprio . Estes são os conjuntos enumeráveis. A sequência a seguir, em que os números são ordenados pela sua altura ( = numerador + denominador), dá uma ideia do porquê de +*, ser também enumerável:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...

Cantor mostrou que e têm a mesma potência e que esta é superior à dos enumeráveis. E mostrou ainda que a escala do infinito não tem limites: sempre há potências maiores e maiores.

Certos resultados obtidos por Cantor surpreenderam a ele mesmo. Sob esse ponto de vista é possível entender o porquê das duras críticas que recebeu de importantes matemáticos de seu tempo. Mas, para o progresso da Matemática, prevaleceram opiniões como a de Hilbert: “Do paraíso criado por Cantor ninguém nos tirará”.

segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012

MEC divulga piso de R$ 1.451 para professores de ensino básico


RENATO MACHADO
DE BRASÍLIA

O Ministério da Educação divulgou nesta segunda-feira o novo valor do piso salarial nacional para os professores de educação básica: R$ 1.451.

O novo valor representa um reajuste de 22,22% em relação ao ano passado - o valor anterior era R$ 1.187.

O MEC usa como parâmetro de reajuste o aumento no valor gasto por aluno no Fundeb (Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica) - como prevê a lei nacional do piso do magistério, de 2008.

O novo valor se refere ao mínimo que deve ser pago para professores com jornada semanal de trabalho de 40 horas. O piso deve ser divulgado anualmente até o mês de janeiro para ter vigência para todo o ano. Como houve atraso, o novo valor deve ser retroativo ao primeiro mês do ano.

Apesar de ser uma lei federal, o piso para professores ainda é desrespeitado por muitos Estados e municípios.

"Na verdade, a lei completa não é cumprida em praticamente nenhum lugar", disse o presidente da CNTE (Confederação Nacional dos Trabalhadores em Educação), Roberto Franklin de Leão.

A CNTE convocou uma paralisação nacional para os dias 14,15 e 16 deste mês por conta do não cumprimento da lei do piso. Além do mínimo salário que deve ser pago, a lei também prevê que um terço da jornada de trabalho deve ser extraclasse - na preparação de aulas ou atendimento ao aluno.

Reportagem da Folha de novembro do ano passado mostrou que 17 Estados não cumpriam a legislação relativa ao piso - em pelo menos um dos pontos previstos.

Do total de Estados, seis não pagavam na ocasião o mínimo estabelecido para o salários dos professores e 15 não respeitavam o limite de um terço da carga horário para atividades extraclasse - havia casos de Estados que não seguiam nenhuma regra.

Por meio de nota, o Consed (Conselho Nacional de Secretários de Educação) informou que acredita que a lei do piso valoriza os profissionais do magistério, mas alega que a maioria das 27 unidades da federação enfrenta dificuldades para o seu cumprimento, principalmente orçamentária.

O Consed pede que o MEC complemente o recurso necessário para o pagamento do piso em Estados sem condições.

O conselho também quer que o MEC apoie um projeto em tramitação na Câmara dos Deputados que prevê a troca do índice atual de reajuste pelo INPC (Índide Nacional de Preços o Consumidor) - que fechou o ano passado em 6,08.

Outro pedido é para que haja um cronograma para que Estados e municípios implementem a regra de reservar um terço da jornada de trabalho dos professores para atividades fora de aula.

"Trocar o índice de reajuste pelo INPC não é mais valorização do professor, que é o objetivo da lei do piso. Seria só uma correção da inflação", disse Leão, presidente da CNTE.

Fonte: Folha.com

sábado, 25 de fevereiro de 2012

Estudante de escola pública do CE leva bronze em olimpíada nacional

Juan Gabriel foi 3º lugar em olimpíada de matemática de escolas públicas.
Aluno de 13 anos é estudante de escola pública da prefeitura de Fortaleza.


Juan Gabriel ao lado da mãe do diretor da escola em que estuda; ele recebeu aula de reforço e estudava em casa por conta própria. (Foto: SER III/Divulgação)

Juan Gabriel de Sousa, 13 anos, conseguiu o terceiro lugar na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Ele conta que, além do apoio da família e de amigos, recebeu reforço da escola. "Minha mãe foi a heroína. Meu pai me ajuda muito, e principalmente minha mãe, que me deu todo o apoio nos estudos", diz o jovem.

Gabriel frequenta a Escola Municipal Antônio Diogo de Siqueira, no Bairro Bonsucesso, na periferia de Fortaleza. "Eles apostaram nos alunos que passaram na primeira fase e fizeram aulas de reforço. Eu estudava uma hora a mais na escola e em casa, por conta própria", diz.

Além da medalha de bronze na Olimpíada Nacional de Matemática, Gabriel já ganhou duas medalhas de ouro em olimpíadas escolares. "Amo matemática, é a minha paixão, é o ponto forte", diz. O estudante conta também que ficou chateado quando ouviu pela primeira vez a notícia do terceiro lugar, mas depois percebeu a importância da medalha. "A olimpíada é nacional e eu disputei com milhares de pessoas bastante inteligentes. O terceiro lugar é bastante coisa e consegui perceber isso", explica.

Juan Gabriel Ponce cursa o 7º ano do ensino fundamental e está na Escola Municipal Antônio Diogo de Siqueira desde 2010. De acordo com o vice-diretor da instituição, Oscar Lacerda, o aluno se preparou intensamente para a olimpíada, com aulas extras em outros períodos além do horário escolar, que influenciaram na conquista do estudante. “Ele é um aluno esforçado, participa das aulas e gosta de estudar. Uma das consequências mais gratificantes na educação é quando um aluno tem êxito. Essas grandes vitórias com nossos jovens da periferia nos deixam felizes, com sensação de dever cumprido”, ressaltou.

De acordo com mãe dele, Marta de Sousa, 40 anos, o sucesso do filho é uma consequência da educação familiar, na qual, segundo ela, há parceria, confiança e responsabilidade. “Em nossa casa ele sempre recebeu carinho, amor, compreensão e apoio em suas decisões. O Juan sempre estudou por conta própria e nunca precisou de reforço. Mesmo tendo apenas o ensino médio incompleto, quando ele precisa eu ensino”, acrescentou.

Na preparação para a olimpíada, Juan conta que em alguns dias teve que deixar de sair para brincar e jogar bola com amigos. "Eu me esforcei muito, chegava em casa, almoçava bem rápido, trocava logo de roupa e voltava para escola. Muitas vezes recebia convites dos amigos, mas deixava de sair porque estava no meu horário de estudo."

Na escola, Juan Gabriel recebeu homenagens da diretoria e recebeu os parabéns dos amigos, a quem ele dá o conselho: "a escola e a família é o que pode dar um futuro melhor. Por isso peço sempre aos amigos que estudem sempre puder".

Fonte: G1/CE

terça-feira, 21 de fevereiro de 2012

Por que os nomes elipse, parábola e hipérbole?

Adaptado do artigo de
Geni Shulz da Silva

A Menaecmus, por volta de 350 a.C., discípulo e sucessor do matemático Eudoxo na direção da Escola de Cizico (Ásia Menor), atribui-se a invenção das curvas elipse, parábola e hipérbole, por ele construídas mecanicamente e utilizadas na resolução do clássico problema da duplicação do cubo (problema de Delos). Mas foi Apolônio (III séc. a.C.) quem extraiu essas curvas de uma  superfície cônica, mediante seções planas. Daí a denominação comum de seções cônicas.

Os nomes elipse, parábola e hipérbole foram mesmo usados por Apolônio, que os tirou de uma terminologia pitagórica (VI séc. a.C.) específica para áreas.

Assim, quando os pitagóricos faziam a base de um retângulo ficar sobre um segmento retilíneo de modo que uma extremidade dessa base coincidisse com uma das extremidades do segmento, diziam que tinham um caso de elipse, parábola ou hipérbole, conforme a referida base fosse menor do que o segmento, com ele coincidisse ou o excedesse. E observamos que a razão dessas designações está na própria significação dos termos, pois elipse quer dizer falta, parábola corresponde a igual e hipérbole exprime excesso.


Vejamos agora o fato em relação às curvas em questão. Para isso, consideramos uma cônica de vértice A, como na figura.

Seja P um ponto qualquer da cônica e Q sua projeção ortogonal sobre AB. Pelo vértice A traçamos uma reta perpendicular a AB, sobre a qual tomamos AD = p, p um número real positivo previamente dado.

A seguir, construamos um retângulo de base AQ, situada sobre a reta AB, e lado AE sobre AD, de modo que a sua área seja PQ².

Conforme

AE < AD, AE = AD ou AE > AD,

Apolônio denominou a cônica de

elipse, parábola ou hipérbole.

Em outros termos, se considerarmos a curva referida a um sistema cartesiano de eixos coordenados com eixo dos x (abcissas) sobre AB e eixo dos y (ordenadas) sobre AD e se designarmos as coordenadas de P por x e y, a curva será uma  elipse se y² < px, uma parábola  se y² = px  e uma hipérbole se  y² > px.

Explorando o Ensino da Matemática, Vol. 3, 2004 - MEC

sexta-feira, 17 de fevereiro de 2012

Salário de professor e operador de escavadeira em edital do MT causa polêmica no Facebook

Montagem feita com o edital do concurso público da prefeitura de Vila Rica (MT) e publicada no Facebook

A comparação entre os salários oferecidos em um concurso público da prefeitura de Vila Rica, no Mato Grosso, para professores e operadores de máquinas teve repercussão negativa nas redes sociais. Enquanto a remuneração inicial oferecida para um operador de escavadeira hidráulica, com ensino fundamental incompleto, é de R$ 1.291,98, o salário para um professor com ensino superior é de R$ 1.246,32.

A jornada de trabalho dos professores aprovados no concurso será de 30 horas semanais, já os operadores de máquina trabalharão 40 horas semanais.

Um perfil  do Facebook divulgou uma montagem com a imagem do edital e, até o momento da publicação dessa matéria, a foto foi compartilhada por mais de 3 mil pessoas. Um dos usuários da rede social comentou: “É necessário uma mudança e valorização do ensino, assim como ampliar a possibilidade para todos terem acesso à qualificação, tanto profissional como acesso ao ensino publico superior de qualidade”.

Outros internautas se perguntam “se essa situação é possível”, enquanto alguns afirmam que “isso é Brasil”.

O piso salarial nacional dos professores é de R$ 1.187 para 40 horas semanais e vale para todos os docentes que atuem da educação infantil ao ensino médio. A CNTE (Confederação Nacional dos Trabalhadores em Educação) reivindica para esse ano um piso de R$ 1.937,26.

A reportagem do UOL entrou em contato com a prefeitura de Vila Rica e aguarda retorno, pois, segundo a atendente, o responsável só poderá falar no período da tarde.

Fonte: UOL

quinta-feira, 16 de fevereiro de 2012

Professores se revoltam com pressão de governadores para reduzir reajuste salarial

Governadores do Rio, Sérgio Cabral, de Minas,
Anastasia, do Espírito Santo, Casagrande, do Ceará,
Cid Gomes e da Bahia, Jaques Wagner, mobilizam-se
para diminuir o reajuste para os professores
A pressão dos governadores Sérgio Cabral (RJ), Antonio Anastasia (MG), Renato Casagrande (ES), Cid Gomes (CE) e Jaques Wagner (BA) para que o presidente da Câmara, Marco Maia, determine o regime de urgência na votação do projeto de Lei que reduz o reajuste do piso nacional dos professores dos atuais 22%, este ano, para 6%, é um motivo a mais para que os trabalhadores da Educação parem, por tempo indeterminado, a partir da greve geral marcada entre os dias 14 e 16 de março. Maia confirmou a conversa com os cinco executivos estaduais, na véspera, durante a posse da presidenta da Petrobras, Maria das Graças Foster, mas adiantou que “uma coisa é a pressão dos governadores, outra é a matéria entrar na pauta do Plenário”, disse, por meio de sua assessoria.

Ao tomar conhecimento da ação dos governadores junto ao Legislativo, o presidente da Confederação Nacional dos Trabalhadores em Educação (CNTE), Roberto Franklin de Leão, repudiou a atitude e avisou que “a greve nacional será o momento em que os professores irão enfrentar estes cinco inimigos da Educação”. O professor da Rede Oficial de Ensino de São Paulo acrescenta que a intenção dos dirigentes estaduais é “de romper um acordo feito no Senado”, que mantinha o reajuste da categoria nas bases definidas pela Lei 11.738, de 2008, assinada pelo então presidente Luiz Inácio Lula da Silva e o ministro da Educação, à época, Fernando Haddad, hoje candidato a prefeito do Município de São Paulo.

Segundo Leão, os senadores mantiveram o parágrafo único do Artigo 5º, que prevê o reajuste dos professores segundo “o mesmo percentual de crescimento do valor anual mínimo por aluno referente aos anos iniciais do ensino fundamental urbano, definido nacionalmente”, segundo os critérios do Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de Valorização dos Profissionais da Educação (FUNDEB). Por este critério, o piso nacional seria reajustado em 22%, mas os governadores fluminense, mineiro, capixaba, cearense e baiano pressionam para que, na Câmara, este fator seja substituído pela variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), o que reduziria a 6% a correção dos salários dos mais de 2 milhões de profissionais que atuam apenas no Ensino Básico.

– Lamento profundamente que estes governadores se posicionem contra a valorização do Magistério. Eles se colocam no mesmo nível daqueles que interpuseram um recurso contra a legislação que visa reduzir injustiças históricas contra os professores. Mais lamentável, ainda, é a participação nesse grupo do governador da Bahia, Jaques Wagner, que acaba de enfrentar uma greve das forças de segurança. Ele contradiz tudo aquilo porque o Partido dos Trabalhadores sempre lutou. O mínimo que deveria fazer é se desligar desta legenda e procurar um partido neoliberal – afirmou Leão.

Procurado pelo Correio do Brasil, Wagner não desmentiu ou aquiesceu o que seu vizinho mineiro, Antonio Anastasia, admitiu com ressalvas. Por meio de seus assessores, o Palácio da Liberdade confirmou a conversa com o deputado Maia, durante a solenidade em que esteve presente, no Rio, mas fez questão de frisar que “o problema foi gerado durante o governo do presidente Lula”, disse um porta-voz do governador tucano. Anastasia está na mira dos dirigentes sindicais “desde que o Tribunal de Contas da União constatou que o Estado não aplica nas escolas o que manda a Constituição”, lembrou o presidente do CNTE.

– É importante lembrar, também, que o governador cearense, Cid Gomes, botou a polícia na rua contra os professores – acrescentou Leão.

O governador do Espírito Santo, Renato Casagrande, disse estar em uma solenidade e não poderia responder ao CdB e o do Rio, Cabral, negou até mesmo haver participado do grupo que pressionou o presidente da Câmara, embora sua presença tenha sido confirmada tanto por Maia quanto pelo colega mineiro, Anastasia.