Prof. Evanilson Brandão

Cantor e a Teoria dos Conjuntos

Hygino H. Domingues

A natureza do infinito é uma questão antiga e controversa. Arquimedes (287-212 a.C.) fazia distinção entre infinito potencial e infinito atual. Este último, que vem a ser o infinito como algo completo, era descartado por não haver nenhuma evidência de que alguma coleção de objetos pudesse corresponder a tal ideia. O conjunto ℕ, por outro lado, é um exemplo de conjunto potencialmente infinito, pois sempre se pode somar uma unidade a cada um de seus elementos obtendo-se outro número natural.

No século XVII Galileu comparou os conjuntos ℕ* = {1, 2, 3, ...} e P = {2, 4, 6, ...}. E assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas, posto que a correspondência 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 6, ..., n ® 2n, ... de ℕ* em P é, como se diz hoje, biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado a deixar de lado tais cogitações.

Aliás, a ideia de infinito atual, por ter conotações de ordem religiosa, não era aceita também por certos religiosos (São Tomás de Aquino, por exemplo) que viam Deus a única natureza absolutamente infinita. E isso deve ter contribuído para que sua adoção fosse retardada em Matemática.

Curiosamente, quem tirou a Matemática dessa camisa-de-força foi um homem de profunda fé religiosa, Georg Cantor (1845-1918). Cantor nasceu na Rússia, na cidade de São Petersburgo, mas aos 11 anos mudou-se com sua família para a Alemanha, onde se fixou. Em 1862 iniciou o curso de Engenharia em Zurique mas, depois de um semestre, deixou-o para fazer Matemática em Berlim, em cuja universidade obteve o grau de doutor no ano de 1867 com uma tese sobre teoria dos números. Dois anos depois foi admitido na Universidade de Halle, onde transcorreria sua carreira acadêmica.

Dedicando-se entre 1870 e 1872 a pesquisas na área de análise matemática, Cantor acabou tendo sua atenção atraída para um assunto com o qual seu espírito tinha especial afinidade: a natureza dos conjuntos infinitos. E de sua opção por este caminho nasceria a teoria dos conjuntos como capítulo autônomo da Matemática. 

Em 1872, o matemático alemão Dedekind dera o primeiro passo nesse sentido com a seguinte definição (aqui em terminologia moderna): “Um conjunto se diz infinito se pode ser colocado em correspondência biunívoca com uma parte própria de si mesmo”. Ou seja, aquilo que a Galileu parecera um paradoxo tornava-se a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, com todas as suas implicações.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845-1918).

O grande mérito de Cantor foi perceber, a partir daí, a existência de conjuntos infinitos de espécies diferentes, numa escala de grandeza. Se dois conjuntos, como ℕ* e P, podem ser colocados em correspondência biunívoca, diz-se que ambos têm mesma potência. E foi através dessas potências que Cantor hierarquizou o infinito. Na primeira categoria da escala do infinito estão todos os conjuntos com a mesma potência de ℕ*, entre os quais estão P, ℤ e, surpreendentemente, o próprio ℚ. Estes são os conjuntos enumeráveis. A sequência a seguir, em que os números são ordenados pela sua altura ( = numerador + denominador), dá uma ideia do porquê de ℚ₊*, ser também enumerável:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...

Cantor mostrou que ℝ e ℂ têm a mesma potência e que esta é superior à dos enumeráveis. E mostrou ainda que a escala do infinito não tem limites: sempre há potências maiores e maiores.

Certos resultados obtidos por Cantor surpreenderam a ele mesmo. Sob esse ponto de vista é possível entender o porquê das duras críticas que recebeu de importantes matemáticos de seu tempo. Mas, para o progresso da Matemática, prevaleceram opiniões como a de Hilbert: “Do paraíso criado por Cantor ninguém nos tirará”.