segunda-feira, 9 de julho de 2012


COMBINATÓRIA – Princípios básicos

O principio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy.

Exemplo 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

Solução. Formar um casal equivale a tomar as decisões:
D1: Escolha do homem (5 modos).
D2: Escolha da mulher (5 modos).
Há 5 ´ 5 = 25 modos de formar um casal.

Exemplo 2. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Solução. Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras.
A resposta é 3 ´ 26 = 192.

Exemplo 3. Quantos são os números de três dígitos distintos?

Solução. O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos.
A resposta é 9 ´ 9 ´ 8 = 648.

Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória:

1) Postura. Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal.

2) Divisão. Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos.

Vamos voltar ao exemplo anterior – Quantos são os números de três dígitos distintos? – para ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estratégia, tornar complicadas as coisas mais simples.
Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos de escolher o último dígito. Em seguida, há 9 modos de escolher o dígito central, pois não podemos repetir o dígito já usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro dígito? A resposta é “depende”. Se não tivermos usado o 0, haverá 7 modos de escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem os dois dígitos já usados nas demais casas; se já tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito.
Um passo importante na estratégia para resolver problemas de Combinatória é:

3) Não adiar dificuldades. Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar. No exemplo 3, a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras, pois o primeiro dígito não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve para causar problemas.

A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2001. Vol. 2 (p. 85-87).

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