terça-feira, 13 de dezembro de 2011

Regra de Três Simples e Composta

Regra de Três Simples

Numa situação-problema, que relaciona duas grandezas em que são conhecidos dois valores de uma grandeza e um valor da outra (portanto, são conhecidos três valores), o objetivo é calcular o quarto valor relacionado com a segunda grandeza.

Exemplos:

1. Na extremidade de uma mola, é colocado um copo com massa de 10 kg. Verifica-se, então, que o comprimento da mola distendida é de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o comprimento dela?

Solução: Vamos representar o comprimento procurado pela letra x. De acordo com os dados, o problema relaciona dois valores da grandeza massa (10 kg e 15 kg) com dois valores da grandeza comprimento (54 cm e x cm).

Massa do corpo
(em kg)
Comprimento da mola
(em cm)
10
54
15
x

Pelos dados da tabela, se duplicarmos a massa inicial do corpo, o comprimento da mola também irá dobrar. Logo, as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais.

Se as grandezas são diretamente proporcionais, temos:


Portanto, o comprimento da mola distendida será de 81 cm.

2. Um competidor de atletismo completou um percurso em 20 s, atingindo a velocidade média de 18 km/h. Se ele corresse a uma velocidade de 20 km/h, em quanto tempo completaria o mesmo percurso?

Solução: Vamos representar o tempo procurado pela letra x. De acordo com os dados, o problema relaciona dois valores da grandeza velocidade (18 km/h e 20 km/h) com dois valores da grandeza tempo (2o s e x s).

Velocidade
(em km/h)
Tempo
(em segundos)
18
20
20
x

Pelos dados da tabela, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.


Portanto, se a velocidade do competidor fosse de 20 km/h, ele teria gasto 18 s para fazer o percurso.

Regra de Três Composta

Numa situação-problema que relacione mais de duas grandezas, em que não se conhece um dos valores dessas grandezas, é necessário separar o problema em diversas regras de três simples, observando, caso a caso, se se obtém grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo:

Um motociclista, rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?

Solução: Vamos representar pela letra x o número de dias procurado. De acordo com os dados do problema, vamos organizar o quadro a seguir:

Número de km
Número de horas/dia
Número de dias
(A)
(B)
(C)
200
4
2
500
5
x

1. Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C.

Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são inversamente proporcionais.

2. Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C.

Se duplicarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, lembrando que o motociclista roda o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são diretamente proporcionais.

Assim, a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, devemos escrever a razão  inversa dos valores que expressam a grandeza B (a razão inversa de 4/5 é 5/4).

Daí:


Assim sendo, obtemos:


Portanto, o motociclista levará 4 dias para percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia.

Fonte: SANTOS PAES, RUI. Matemática. Barueri, SP: Gold Editora, 2008 – (Coleção concursos públicos; o passo decisivo para sua aprovação; v.7)

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